berührt die Spezialgebiete

• Mathematik
  • Abstrakte Algebra
  • Lineare Algebra
  • Analytische Geometrie

ist Spezialfall von

• Abelsche Gruppe
• Bahnenraum eines Körpers
• Modul

umfasst als Spezialfälle

• Körper (VR über sich selbst)
• topologischer Vektorraum
  • normierter Raum
    • Innenproduktraum
      • Euklidischer Raum
        • reelle Zahlen
      • Unitärer Raum
        • komplexe Zahlen
    • Banachraum
      • Hilbertraum
• A-Algebra (mit innerer Multiplikation)
  • Assoziative Algebra
  • Lie-Algebra

Eine Menge V heißt Vektorraum über einem Körper K oder K-Vektorraum, wenn zwei Verknüpfungen,

• eine Vektoraddition +:V×V→V und
• eine Skalarmultiplikation *:K×V→V

definiert sind, die den folgenden zehn Bedingungen genügen:

Für alle Vektoren u, v, w aus V und alle Skalare a, b aus K gilt:

• (V,+) ist eine Abelsche Gruppe, das heißt,
  • v + w ist wieder ein Vektor aus V (Abgeschlossenheit);
  • u + (v + w) = (u + v) + w (Assoziativität);
  • Es gibt einen Nullvektor 0 aus V, so dass 0 + v = v = v + 0;
  • Es gibt zu jedem Vektor v einen inversen Vektor -v, so dass v + (-v) = 0;
  • v + w = w + v (Kommutativität);
• für die Skalarmultiplikation gilt:
  • a * v liegt wieder in V (Abgeschlossenheit: V ist Bahnenraum unter K);
  • a * (b * v) = (a * b) * v (Assoziativität);
  • 1 * v = v (das neutrale Element von K wirkt auch auf V neutral);
• und die folgenden Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation:
  • a * (v + w) = a * v + a * w;
  • (a + b) * v = a * v + b * v (links vom Gleichheitszeichen genannt "+" die Addition in K, nicht die Vektoraddition).

Bemerkungen:

• Da K kommutativ ist, wird nicht zwischen Skalarmultiplikation von links oder von rechts unterschieden.
• Wenn man statt einem Körper K einen Ring zugrunde legt, erhält man ein Modul.
• Streng genommen ist die Multiplikation in dem Körper K eine andere, als die in dem zugehörigen K-Vektorraum. Trotzdem werden häufig beide mit dem selben Zeichen(· oder *) nennen. Häufig lässt man das Multiplikationszeichen auch ganz weg.

Anschauliche Vektorräume sind die 2-dimensionale Ebene oder der 3-dimensionale Raum mit den Pfeilklassen (Verschiebungen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren. Wir betrachten die 2-dimensionale Euklidische Ebene:

v = ( 2 , 3 ) sei die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben.

w = ( 3 ,-5 ) sei die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung:

v + w = ( 5 ,-2 ), d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor ist 0 = ( 0 , 0 ), d.h. keine Verschiebung.

Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die Skalarmultiplikation:

a * v = 3 * ( 2 , 3 ) = ( 6 , 9 ). Diese Verschiebung ist das Dreifache der Verschiebung v.

Vektorräume können jedoch auch abstrakter aussehen. So kann V etwa die Menge der Geraden sein. Beispiele für Geraden sind etwa:

f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3x - 5 .

Die Summe zweier Geraden ist wieder eine Gerade:

f(x) + g(x) = 2x + 3 + 3x - 5 = (2+3)x + (3-5) = 5x - 2 ..

Der Nullvektor ist die Funktion

n(x) = 0x + 0 , d.h. n(x) = 0.

Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die Skalarmultiplikation:

a * f(x) = 3 * (2x + 3) = (3^.2)x + (3^.3) = 6x + 9.

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Häufig besitzt ein Vektorraum neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur; er ist dann ein topologischer Vektorraum.

In vielen Vektorräumen ist es möglich, die Länge eines Vektors anzugeben, die etwas abstrakter seine Norm genannt wird: der Vektorraum ist dann ein normierter Raum. Eine Norm induziert immer eine Metrik und damit auch eine Topologie.

Häufig ist es sinnvoll und möglich, auch den Winkel zwischen Vektoren zu definieren. Das geschieht mit Hilfe des Skalarprodukts (nicht zu verwechseln mit der Skalarmultiplikation!); der Vektorraum ist dann ein Innenproduktraum.

In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum, im jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum, ein vollständiger Innenproduktraum heißt Hilbert-Raum.

Die Quantenmechanik arbeitet mit Hilberträumen, deren Elemente Elektronenwellenfunktionen sind.

Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Aus einem Vektorraum kann man duch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum, konstruieren.

Wir betrachten den oben angegebenen K-Vektorraum V.

V' ist ein Untervektorraum oder auch Teilvektorraum von V, falls die folgenden Bedingungen gelten:

• 
• 
• Liegen Elemente x und y in V', so liegt auch (x + y) in V' (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition)
• Liegt das Element x in V', so liegt auch a * x in V', für alle a in K (Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation)

Beispiel:

Sei V ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen zu dem Quadrat: . Ein möglicher Untervektorraum ist , da er die o.g. Bedingungen des Untervektorraums erfüllt. Anschaulich ist V eine Ebene, und M ist eine Gerade aus dieser Ebene, wobei eine Koordinate immer 0 ist.

Siehe auch: Hierarchie mathematischer Strukturen, Raum (Mathematik)